Interés compuesto: Cálculos y
Programa en Python
En el capítulo sobre el Interés simple explicamos el concepto
de costo de oportunidad como justificación de la existencia del interés como compensación
por usar dinero recibido terceros (préstamo o deuda) o por depositar los ahorros (dejar el dinero en un banco por un
plazo acordado). Todas las consideraciones son iguales en el caso del Interés compuesto;
la diferencia está en la forma como se tratan los intereses a través del
tiempo.
Supongamos que se solicita un préstamo que debe devolverse
dentro de cuatro años a una tasa de interés anual. Los intereses (I = C*i*n)
del primer año se calculan con la formula I 1 = C*i*1 = C*i y al
final del primer año se agregan al capital, o principal de la deuda, es decir
se capitalizan y al final del año la deuda se convierte en
C 1= C+I1 = C+C*i = C
(1+i).
Para el siguiente periodo, el interés será mayor porque se calcula
sobre un mayor capital. Es decir, I2 = C1*i*1 = C1*i. El nuevo capital, al
final del periodo 2 será
C 2 = C1+ I2= C(1+i) + C(1+i) *i = C (1+i) (1+i) = C (1+i)
^2
Al final del periodo 4, plazo del préstamo, el capital o monto
que debe devolverse es
M = C4 = C (1+i) ^4
Con los mismos datos, el monto o importe del interés compuesto
es mayor que el correspondiente al interés simple.
2.
Interés compuesto.
Fórmulas
El interés I para cada periodo depende proporcionalmente del capital, tasa y
tiempo
I = C*i*n = C*i*1 = C*i
Donde: C
= Capital o principal (en unidades monetarias)
i = tasa de interés (tanto por ciento, sin
unidades)
n = tiempo (años o cualquier otro periodo de
tiempo)
Para el periodo 1 tenemos:
I1 = C*i*n = C*i*1 = C*i
Interés del periodo 1
C1 = C + I1 = C + C (1+i) = C (1+i) Capital acumulado en periodo
1
Para el periodo 2
I2 = C1*i*n = C1*i*1 =
C1*i = C(1+i) * i Interés
del periodo 2
C2 = C1 + I2 = C1 (1+i) + C1 (1+i)*i = C1 (1+i) (*(1+i) = C (1+i) ^2
Capital acumulado en periodo 2 (El signo ^ indica potencia)
Para el periodo 3
I3 = C2*i*n = C2*i*1 = C2*i
= C (1+i) ^2 * i Interés
del periodo 3
C3 = C2 + I3 = C (1+i)^2
+ C (1+i)^2 *i = C (1+i) ^2 *(1+i) = C (1+i) ^3
Capital acumulado en periodo 3
Para el periodo n, generalizando tenemos:
In = C (n-1)*i*n = C (n-1)*i*1 = C (n-1) *i = C
(1+i) ^ (n-1) * i Interés
del periodo n-ésimo
Cn = C(n-1) + In = C (1+i)^ (n-1) + C (1+i)^ (n-1) *i
= C (1+i) ^ (n-1) *(1+i) = C (1+i) ^n
El monto o importe que debe pagarse en el periodo n con
interés compuestos es:
M = Cn = C (1+i) ^
n (1)
Como en el interés simple, existen dos posibilidades:
1) A necesita dinero, B
le proporciona la cantidad deseada. A es deudor (persona o empresa) y B es
acreedor o prestamista (Banco). Después de un periodo A debe devolver el
Capital, principal o deuda más el interés compuesto equivalente al costo de
oportunidad del banco. La cantidad devuelta se llama Monto, Importe:
M = C+ I = C * (1+i)^n
= C*FCC (2)
Donde: FCC = (1+i)^n = Factor de capitalización compuesto
2) A decide ahorrar en un banco, en el cual deja su dinero por
un tiempo t y recibe como compensación por su costo de oportunidad la tasa de i
por unidad de tiempo. El costo de oportunidad del ahorrista está en la renuncia
al uso del dinero mientras el banco puede disponer libremente de él para sus
propias operaciones bancarias. Al final, el ahorrista recibe el capital
depositado más los intereses. La fórmula (1) es aplicable también en este caso.
3. Fórmulas derivadas de Interés compuesto
Cálculo del capital
C = M/FCC
= M/(1+i)^n = M* (1+i) ^(-n)
Cálculo del tiempo
M = C
*(1+i) ^n
Log M =
log C + n *log (1+i)
Log M –
log C = n *log (1+i)
n = (log M – log C)/ log (1+i)
Cálculo de la tasa de interés
(1+i)^n = M/C
Aquí, Cn = M, si sacamos la raíz n-ésima se tiene
4.
Ejemplo
Juan ahorra 20.000 euros en el banco Trampitas durante 4 años,
a la tasa compuesta de 5% anual. ¿Cuánto
puede retirar al final del plazo?
Monto M =
C* (1+ i) ^n = 20.000*(1+5%) ^4 = 20.000*(1.05)^4
=
=
24.310,12 euros
Interés = M-C = 24.310,12 – 20.000 = 4.310.12 euros
Es importante revisar la coherencia de unidades en los
cálculos. La tasa de interés (i) no tiene unidades, el Interés (I) se expresa
en unidades monetarias.
5.
Programa
en Python:
Enlaces recomendados :
Interés simple
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