Intérêt composé: Calculs et programme en Python

Intérêt composé: Calculs et programme en Python

 (2) Notes du cours de mathématiques financières

  

     Principes de base

Dans le chapitre sur les intérêts simples, nous expliquons le concept de coût d’opportunité pour justifier l’existence d’intérêts en compensation de l’utilisation d’argent reçu de tiers (prêt ou dette) ou du dépôt d’une épargne (laisser l’argent dans une banque pendant une période convenue) . Toutes les considérations sont les mêmes dans le cas des intérêts composés; La différence réside dans la manière dont les intérêts sont traités au fil du temps.

Supposons qu'un prêt soit demandé et qu'il doive être remboursé dans les quatre ans à un taux d'intérêt annuel. L'intérêt (I = C * i * n) de la première année est calculé avec la formule  I1 = C * i * 1 = C * iy à la fin de la première année, ils sont ajoutés au capital ou au principal de la dette, c'est-à-dire ils capitalisent et à la fin de l'année la dette devient

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

Pour la prochaine période, les intérêts seront plus élevés car ils sont calculés sur un capital plus important. C'est-à-dire que I2 = C1 * i * 1 = C1 * i.  La nouvelle capitale à la fin de la période 2 sera

C2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

À la fin de la période 4, la durée du prêt, le capital ou le montant à rembourser est M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Avec les mêmes données, le montant ou le montant des intérêts composés est supérieur à celui correspondant aux intérêts simples.

2. Intérêt composé. Formules

L'intérêt I pour chaque période dépend proportionnellement du capital, du taux et du temps

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Où: C = Capital ou principal (en unités monétaires)

 i = taux d'intérêt (pourcentage, sans unités)

 n = temps (années ou toute autre période)

Pour la période 1 nous avons:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i      Intérêts pour la période 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)   Capital accumulé au cours de la période 1

Pour la période 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i   Intérêts pour la période 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Capital accumulé en période 2 (Le signe ^ indique le pouvoir)

Pour la période 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i      Intérêts pour la période 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i)

     = C (1 + i) ^ 3

Capital accumulé en période 3

Pour la période n, en généralisant nous avons:

Dans  C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i       Intérêts pour la période n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

      = C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

Le montant ou le montant à payer au cours de la période n avec intérêts composés est:

M = Cn = C (1 + i) ^ n        (1)

Comme dans l’intérêt simple, il y a deux possibilités:

 1) A a besoin d’argent, B fournit le montant souhaité. A est un débiteur (personne physique ou morale) et B est un créancier ou un prêteur (banque). Après une période A, vous devez rembourser le principal, le principal ou la dette plus les intérêts composés équivalents au coût d'opportunité de la banque. Le montant retourné s'appelle Montant, Montant:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC     (2)

Où: FCC = (1 + i) ^ n = facteur de capitalisation composé

2) A décide d'épargner dans une banque dans laquelle il laisse son argent pendant un temps t et reçoit, en compensation de son opportunité, le coût de i par unité de temps. Le coût d'opportunité de l'épargnant réside dans la renonciation à utiliser l'argent alors que la banque peut en disposer librement pour ses propres opérations bancaires. Au final, l’épargnant reçoit le capital déposé plus les intérêts. La formule (1) est également applicable dans ce cas.

3. Formules dérivées de l'intérêt composé

Calcul du capital

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Calcul du temps

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Calcul du taux d'intérêt

(1 + i) ^ n = M / C

Ici, Cn = M, si nous prenons la nième racine, nous avons

4. Exemple

Juan économise 20 000 euros à la banque Trampitas pour 4 ans, au taux composé de 5% par an. Combien pouvez-vous retirer à la fin du terme?

Montant M = C * (1+ i) ^ n = 20 000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20 000 * (1,05) ^ 4 =  24 310,12 euros

Intérêts = M-C = 24 310,12 - 20 000 = 4 310,12 euros

Il est important de vérifier la cohérence des unités dans les calculs. Le taux d'intérêt (i) n'a pas d'unités, les intérêts (I) sont exprimés en unités monétaires.

5. Programme en Python:

Liens recommandés: Intérêt simple

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