Zinseszins: Berechnungen und Programm in Python

Zinseszins: Berechnungen und Programm in Python

 (2) Anmerkungen zum Kurs Finanzmathematik

1 1. Grundprinzipien

Im Kapitel über die einfache Interesse erklärt das Konzept der Opportunitätskosten als Rechtfertigung für die Existenz von Zinsen als Entschädigung für die Verwendung von Geld erhielt Drittel (Darlehen oder Schulden) oder Hinterlegung Spar (Abfahrt Geld in einer Bank für einen vereinbarten Zeitraum) . Bei Zinseszins sind alle Überlegungen gleich; Der Unterschied liegt in der Art und Weise, wie Interessen im Laufe der Zeit behandelt werden.

Angenommen, es wird ein Darlehen beantragt, das innerhalb von vier Jahren zu einem jährlichen Zinssatz zurückgezahlt werden muss. Die Zinsen (I = C * i * n) des ersten Jahres werden mit der Formel  I1 = C * i * 1 = C * i  am Ende des ersten Jahres berechnet, in dem sie dem Kapital oder Kapital der Schuld hinzugefügt werden, dh Sie aktivieren und am Ende des Jahres wird die Verschuldung zu

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

Für den nächsten Zeitraum wird der Zins höher sein, da er auf einem größeren Kapital berechnet wird. Das heißt, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. Das neue Kapital, am Ende 

der Periode 2

C 2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Am Ende von Periode 4 ist die Laufzeit des Darlehens, das Kapital oder der zurückzuzahlende Betrag M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Mit den gleichen Daten ist der Betrag oder der Betrag des Zinseszinses größer als der, der dem einfachen Zins entspricht.

2. Zinseszins. Formeln

Zins I für jede Periode hängt proportional von Kapital, Zinssatz und Zeit ab

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Wobei: C = Kapital oder Kapitalbetrag (in Währungseinheiten)

 i = Zinssatz (Prozentsatz, ohne Einheiten)

 n = Zeit (Jahre oder irgendein anderer Zeitraum)

Für Periode 1 haben wir:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i    Zins für Periode 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)   In Periode 1 angesammeltes Kapital

Für Periode 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i     Zins für Periode 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (i + 1) ^ 2

In Periode 2 angesammeltes Kapital (Das Zeichen ^ gibt die Macht an)

Für Periode 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i     Zins für Periode 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (i + 1) ^ 2 * i = C (i + 1) ^ 2 * (1 + i)

      = C (1 + i) ^ 3

In Periode 3 angesammeltes Kapital

Für Periode n haben wir verallgemeinernd:

In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i 

Zinsperiode n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

      =  C (1 + i) ^ (n-1 ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

Der Betrag oder Betrag, der in Periode n mit Zinseszinsen gezahlt werden muss, ist:

M = Cn = C (1 + i) ^ n        (1)

Wie im einfachen Interesse gibt es zwei Möglichkeiten:

 1) A braucht Geld, B stellt den gewünschten Betrag zur Verfügung. A ist ein Schuldner (Person oder Unternehmen) und B ist ein Gläubiger oder Kreditgeber (Bank). Nach einer Periode A müssen Sie das Kapital, das Kapital oder die Schuld zuzüglich Zinseszinsen zurückzahlen, die den Opportunitätskosten der Bank entsprechen. Der zurückgegebene Betrag heißt Betrag, Betrag:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC     (2)

Wobei: FCC = (1 + i) ^ n = Kapitalisierungsfaktor

2) A beschließt, bei einer Bank zu sparen, bei der er sein Geld für eine Zeit t liegen lässt und als Ausgleich für seine Opportunitätskosten den Satz von i pro Zeiteinheit erhält. Die Opportunitätskosten des Sparers bestehen im Verzicht auf die Verwendung des Geldes, während die Bank über dieses Geld für ihre eigenen Bankgeschäfte frei verfügen kann. Am Ende erhält der Sparer das eingezahlte Kapital zuzüglich Zinsen. Formel (1) ist auch in diesem Fall anwendbar.

3. Aus Zinseszinsen abgeleitete Formeln

Berechnung des Kapitals

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Berechnung der Zeit

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Berechnung des Zinssatzes

(1 + i) ^ n = M / C

Hier ist Cn = M, wenn wir die n-te Wurzel nehmen, die wir haben

  

 4. Beispiel

Juan spart 4 Jahre lang 20.000 Euro in der Trampitas-Bank, bei einem Zinssatz von 5% pro Jahr. Wie viel können Sie am Ende der Laufzeit abheben?

Menge M = C * (1+ i) ^ n = 20.000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20.000 * (1,05) ^ 4

= 24.310,12 Euro

Zinsen = M-C = 24.310,12 - 20.000 = 4.310,12 Euro

Es ist wichtig, die Kohärenz der Einheiten in den Berechnungen zu überprüfen. Der Zinssatz (i) hat keine Einheiten, Zinsen (I) werden in Geldeinheiten ausgedrückt.

5. Programme in Python:

Empfohlene Links: Einfaches Interesse

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/einfaches-interesse-berechnungen-und.html