Juros compostos: cálculos e programas em Python

Juros compostos: cálculos e programas em Python

 (2) Notas do Curso de Matemática Financeira

      1. Princípios Básicos

No capítulo sobre Interesse Simples, explicamos o conceito de custo de oportunidade como justificativa para a existência de juros como compensação pelo uso de dinheiro recebido de terceiros (empréstimo ou dívida) ou por depósito de poupança (deixando o dinheiro em um banco por um prazo acordado). . Todas as considerações são as mesmas no caso de juros compostos; A diferença está na forma como os interesses são tratados ao longo do tempo.

Suponha que seja solicitado um empréstimo que deva ser pago dentro de quatro anos a uma taxa de juros anual. Interesse (I = C * i * n) do primeiro ano são calculados com o principal fórmula I 1 = C * i * 1 = C * i no final do primeiro ano são adicionados ao capital, ou débito, ou seja, é eles capitalizam e no final do ano a dívida torna-se

C 1 = C + I 1 = C + C * i = C (1 + i).

Para o próximo período, os juros serão mais altos porque são calculados sobre um capital maior. Ou seja, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. O novo capital no final do período 2 será

C2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

No final do Período 4, o prazo do empréstimo, o capital ou a quantia que deve ser paga é

M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Com os mesmos dados, o montante ou montante de juros compostos é maior do que o correspondente a juros simples.

  2. Juros compostos. Fórmulas

O juro I para cada período depende proporcionalmente do capital, da taxa e do tempo

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Onde: C = Capital ou principal (em unidades monetárias)

 i = taxa de juros (porcentagem, sem unidades)

 n = tempo (anos ou qualquer outro período de tempo)

Para o período 1, temos:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i      Juros pelo período 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)      Capital acumulado no período 1

Para o período 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i      Juros para o período 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Capital acumulado no período 2 (O sinal indica poder)

Para o período 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i     Juros pelo período 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i

     = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3

Capital acumulado no período 3

Para o período n, generalizando, temos:

In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i     Juros para o período n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

= C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

A quantia ou quantia que deve ser paga no período n com juros compostos é:

M = Cn = C (1 + i) ^ n          (1)

Como no interesse simples, existem duas possibilidades:

 1) A precisa de dinheiro, B fornece o valor desejado. A é devedor (pessoa ou empresa) e B é credor ou credor (Banco). Após um período A, você deve devolver o principal, principal ou dívida mais juros compostos equivalentes ao custo de oportunidade do banco. O montante devolvido é chamado Montante, Montante:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC    (2)

Onde: FCC = (1 + i) ^ n = Fator de capitalização composto

2) A decide salvar em um banco, no qual ele deixa seu dinheiro por um tempo te recebe como compensação por sua oportunidade de custo a taxa de i por unidade de tempo. O custo de oportunidade do poupador está na renúncia ao uso do dinheiro, enquanto o banco pode dispor dele livremente para suas próprias operações bancárias. No final, o poupador recebe o capital depositado mais juros. A fórmula (1) também é aplicável neste caso.

3. Fórmulas derivadas de juros compostos

Cálculo do capital

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Cálculo do tempo

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Cálculo da taxa de juros

(1 + i) ^ n = M / C

Aqui, Cn = M, se pegarmos a enésima raiz que temos

4. Exemplo

Juan economiza 20.000 euros no banco Trampitas por 4 anos, na taxa composta de 5% ao ano. Quanto você pode retirar no final do prazo?

Quantidade M = C * (1+ i) ^ n = 20.000 * (1 + 5%) ^ 4

= 20.000 * (1,05) ^ 4 = 24.310,12 euros

Juros = M-C = 24.310,12 - 20.000 = 4.310,12 euros

É importante verificar a coerência das unidades nos cálculos. A taxa de juros (i) não tem unidades, o juro (I) é expresso em unidades monetárias.

5. Programa em Python:

Links recomendados: Interesse simples

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/interesse-simples-calculos-e-programa.html

Compound Interest: Calculations and Program in Python

Compound Interest: Calculations and Program in Python

 (2) Notes of the Financial Mathematics Course

1. Basic principles

In the chapter on Simple Interest, we explain the concept of opportunity cost as justification for the existence of interest as compensation for using money received by third parties (loan or debt) or for depositing savings (leaving the money in a bank for an agreed term) . All considerations are the same in the case of compound interest; The difference is in the way interests are treated over time.

Suppose a loan is requested that must be repaid within four years at an annual interest rate. The interest (I = C * i * n) of the first year is calculated with the formula 

  I 1 = C * i * 1 = C * iy at the end of the first year they are added to the capital, or principal of the debt, that is to say, they capitalize and at the end of the year the debt becomes

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

For the next period, the interest will be higher because it is calculated on a larger capital. That is, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. The new capital at the end of period 2 will be

C 2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

At the end of Period 4, the term of the loan, the capital or amount that must be repaid is M = C4 = C (1 + i) ^ 4

With the same data, the amount or amount of compound interest is greater than that corresponding to simple interest.

2. Compound interest. Formulas

Interest I for each period depends proportionally on capital, rate and time

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Where: C = Capital or principal (in monetary units)

 i = interest rate (percentage, without units)

 n = time (years or any other period of time)

For period 1 we have:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i        Interest for period 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)    Capital accumulated in period 1

For period 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i        Interest for period 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Capital accumulated in period 2 (The sign ^ indicates power)

For period 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i     Interest for period 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i

    = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3

Capital accumulated in period 3

For period n, generalizing we have:

In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i Interest for the period n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

     = C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

The amount or amount that must be paid in period n with compound interest is:

M = Cn = C (1 + i) ^ n           (1)

As in the simple interest, there are two possibilities:

 1) A needs money, B provides the desired amount. A is a debtor (person or company) and B is a creditor or lender (Bank). After a period A, you must return the principal, principal or debt plus compound interest equivalent to the opportunity cost of the bank. The amount returned is called Amount, Amount:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC (1)

Where: FCC = (1 + i) ^ n = Compound capitalization factor

2) A decides to save in a bank, in which he leaves his money for a time t and receives as compensation for his opportunity cost the rate of i per unit of time. The opportunity cost of the saver is in the renunciation of the use of the money while the bank can freely dispose of it for its own banking operations. In the end, the saver receives the deposited capital plus interest. Formula (1) is also applicable in this case.

3. Formulas derived from Compound Interest

Calculation of capital

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Calculation of time

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Calculation of the interest rate

(1 + i) ^ n = M / C

Here, Cn = M, if we take the nth root we have

4. Example

Juan saves 20,000 euros in the Trampitas bank for 4 years, at the compound rate of 5% per year. How much can you withdraw at the end of the term?

Amount M = C * (1+ i) ^ n = 20,000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20,000 * (1.05) ^ 4 =  24,310.12 euros

Interest = M-C = 24,310.12 - 20,000 = 4,310.12 euros

It is important to check the coherence of units in the calculations. The interest rate (i) has no units, Interest (I) is expressed in monetary units.

5. Program in Python:

Recommended links: Simple interest

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/simple-interest-calculations-and.html

Intérêt composé: Calculs et programme en Python

Intérêt composé: Calculs et programme en Python

 (2) Notes du cours de mathématiques financières

  

     Principes de base

Dans le chapitre sur les intérêts simples, nous expliquons le concept de coût d’opportunité pour justifier l’existence d’intérêts en compensation de l’utilisation d’argent reçu de tiers (prêt ou dette) ou du dépôt d’une épargne (laisser l’argent dans une banque pendant une période convenue) . Toutes les considérations sont les mêmes dans le cas des intérêts composés; La différence réside dans la manière dont les intérêts sont traités au fil du temps.

Supposons qu'un prêt soit demandé et qu'il doive être remboursé dans les quatre ans à un taux d'intérêt annuel. L'intérêt (I = C * i * n) de la première année est calculé avec la formule  I1 = C * i * 1 = C * iy à la fin de la première année, ils sont ajoutés au capital ou au principal de la dette, c'est-à-dire ils capitalisent et à la fin de l'année la dette devient

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

Pour la prochaine période, les intérêts seront plus élevés car ils sont calculés sur un capital plus important. C'est-à-dire que I2 = C1 * i * 1 = C1 * i.  La nouvelle capitale à la fin de la période 2 sera

C2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

À la fin de la période 4, la durée du prêt, le capital ou le montant à rembourser est M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Avec les mêmes données, le montant ou le montant des intérêts composés est supérieur à celui correspondant aux intérêts simples.

2. Intérêt composé. Formules

L'intérêt I pour chaque période dépend proportionnellement du capital, du taux et du temps

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Où: C = Capital ou principal (en unités monétaires)

 i = taux d'intérêt (pourcentage, sans unités)

 n = temps (années ou toute autre période)

Pour la période 1 nous avons:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i      Intérêts pour la période 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)   Capital accumulé au cours de la période 1

Pour la période 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i   Intérêts pour la période 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Capital accumulé en période 2 (Le signe ^ indique le pouvoir)

Pour la période 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i      Intérêts pour la période 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i)

     = C (1 + i) ^ 3

Capital accumulé en période 3

Pour la période n, en généralisant nous avons:

Dans  C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i       Intérêts pour la période n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

      = C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

Le montant ou le montant à payer au cours de la période n avec intérêts composés est:

M = Cn = C (1 + i) ^ n        (1)

Comme dans l’intérêt simple, il y a deux possibilités:

 1) A a besoin d’argent, B fournit le montant souhaité. A est un débiteur (personne physique ou morale) et B est un créancier ou un prêteur (banque). Après une période A, vous devez rembourser le principal, le principal ou la dette plus les intérêts composés équivalents au coût d'opportunité de la banque. Le montant retourné s'appelle Montant, Montant:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC     (2)

Où: FCC = (1 + i) ^ n = facteur de capitalisation composé

2) A décide d'épargner dans une banque dans laquelle il laisse son argent pendant un temps t et reçoit, en compensation de son opportunité, le coût de i par unité de temps. Le coût d'opportunité de l'épargnant réside dans la renonciation à utiliser l'argent alors que la banque peut en disposer librement pour ses propres opérations bancaires. Au final, l’épargnant reçoit le capital déposé plus les intérêts. La formule (1) est également applicable dans ce cas.

3. Formules dérivées de l'intérêt composé

Calcul du capital

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Calcul du temps

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Calcul du taux d'intérêt

(1 + i) ^ n = M / C

Ici, Cn = M, si nous prenons la nième racine, nous avons

4. Exemple

Juan économise 20 000 euros à la banque Trampitas pour 4 ans, au taux composé de 5% par an. Combien pouvez-vous retirer à la fin du terme?

Montant M = C * (1+ i) ^ n = 20 000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20 000 * (1,05) ^ 4 =  24 310,12 euros

Intérêts = M-C = 24 310,12 - 20 000 = 4 310,12 euros

Il est important de vérifier la cohérence des unités dans les calculs. Le taux d'intérêt (i) n'a pas d'unités, les intérêts (I) sont exprimés en unités monétaires.

5. Programme en Python:

Liens recommandés: Intérêt simple

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/interet-simple-calculs-et-programme-en.html

Interés compuesto: Cálculos y Programa en Python

Interés compuesto: Cálculos y Programa en Python

 (2) Apuntes del Curso de Matemática Financiera

  1.  Principios básicos

En el capítulo sobre el Interés simple explicamos el concepto de costo de oportunidad como justificación de la existencia del interés como compensación por usar dinero recibido terceros (préstamo o deuda) o por depositar los  ahorros (dejar el dinero en un banco por un plazo acordado). Todas las consideraciones son iguales en el caso del Interés compuesto; la diferencia está en la forma como se tratan los intereses a través del tiempo.

Supongamos que se solicita un préstamo que debe devolverse dentro de cuatro años a una tasa de interés anual. Los intereses (I = C*i*n) del primer año se calculan con la formula I 1 = C*i*1 = C*i  y  al final del primer año se agregan al capital, o principal de la deuda, es decir se capitalizan y al final del año la deuda se convierte en

 C 1= C+I1 = C+C*i = C (1+i).

Para el siguiente periodo, el interés será mayor porque se calcula sobre un mayor capital. Es decir, I2 = C1*i*1 = C1*i. El nuevo capital, al final del periodo 2 será

C 2 = C1+ I2= C(1+i) + C(1+i) *i = C (1+i) (1+i) = C (1+i) ^2 

Al final del periodo 4, plazo del préstamo, el capital o monto que debe devolverse es 

M = C4 = C (1+i) ^4

Con los mismos datos, el monto o importe del interés compuesto es mayor que el correspondiente al interés simple.

2. Interés compuesto. Fórmulas

El interés I para cada periodo  depende proporcionalmente del capital, tasa y tiempo

I = C*i*n = C*i*1 = C*i

Donde: C = Capital o principal (en unidades monetarias)

 i = tasa de interés (tanto por ciento, sin unidades)

 n = tiempo (años o cualquier otro periodo de tiempo)

Para el periodo 1 tenemos:

I1 = C*i*n = C*i*1 = C*i    Interés del periodo 1

C1 = C + I1 = C + C (1+i) = C (1+i) Capital acumulado en periodo 1

Para el periodo 2

 I2 = C1*i*n = C1*i*1 = C1*i = C(1+i) * i    Interés del periodo 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1+i) + C1 (1+i)*i =  C1 (1+i) (*(1+i) = C (1+i) ^2   

Capital acumulado en periodo 2  (El signo ^ indica potencia)

Para el periodo 3

I3 = C2*i*n = C2*i*1 = C2*i  =  C (1+i) ^2  * i   Interés del periodo 3

C3 = C2 + I3 = C (1+i)^2  + C (1+i)^2 *i  =  C (1+i) ^2 *(1+i) = C (1+i) ^3  

Capital acumulado en periodo 3

Para el periodo n, generalizando tenemos:

In = C (n-1)*i*n = C (n-1)*i*1 = C (n-1) *i  =  C (1+i) ^ (n-1)  * i    Interés del periodo n-ésimo

Cn = C(n-1) + In = C (1+i)^ (n-1)  + C (1+i)^ (n-1)  *i 

      =  C (1+i) ^ (n-1) *(1+i) = C (1+i) ^n

El monto o importe que debe pagarse en el periodo n con interés compuestos es:

M = Cn = C (1+i) ^ n        (1)

Como en el interés simple, existen dos posibilidades:

 1) A necesita dinero, B le proporciona la cantidad deseada. A es deudor (persona o empresa) y B es acreedor o prestamista (Banco). Después de un periodo A debe devolver el Capital, principal o deuda más el interés compuesto equivalente al costo de oportunidad del banco. La cantidad devuelta se llama Monto, Importe:

M = C+ I =  C * (1+i)^n = C*FCC    (2)

Donde: FCC = (1+i)^n = Factor de capitalización compuesto

2) A decide ahorrar en un banco, en el cual deja su dinero por un tiempo t y recibe como compensación por su costo de oportunidad la tasa de i por unidad de tiempo. El costo de oportunidad del ahorrista está en la renuncia al uso del dinero mientras el banco puede disponer libremente de él para sus propias operaciones bancarias. Al final, el ahorrista recibe el capital depositado más los intereses. La fórmula (1) es aplicable también en este caso.

3.  Fórmulas derivadas de Interés compuesto

Cálculo del capital

C = M/FCC = M/(1+i)^n  = M* (1+i) ^(-n)

Cálculo del tiempo

M = C *(1+i) ^n

Log M = log C + n *log (1+i)

Log M – log C = n *log (1+i)

n  = (log M – log C)/ log (1+i)

Cálculo de la tasa de interés

(1+i)^n  = M/C

Aquí, Cn = M, si sacamos  la raíz n-ésima se tiene

4.  Ejemplo

Juan ahorra 20.000 euros en el banco Trampitas durante 4 años, a la tasa compuesta  de 5% anual. ¿Cuánto puede retirar al final del plazo?

Monto M =  C* (1+ i) ^n = 20.000*(1+5%) ^4 = 20.000*(1.05)^4  =

= 24.310,12 euros

Interés = M-C = 24.310,12 – 20.000 = 4.310.12 euros

Es importante revisar la coherencia de unidades en los cálculos. La tasa de interés (i) no tiene unidades, el Interés (I) se expresa en unidades monetarias.

5. Programa en Python:

Enlaces recomendados  : Interés simple

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/interes-simple-calculos-y-programa-en.html

Interesse Simples: Cálculos e Programa em Python

Interesse Simples: Cálculos e Programa em Python

1. Princípios Básicos

Bens e serviços têm um custo ou preço expresso em unidades monetárias. Um telefone custa US $ 100 e o atendimento médico custa US $ 120. O dinheiro, pelo jeito que é usado, pode ser considerado bom porque tem existência física, pode ser valorizado, é transportado de um lugar para outro e serve para facilitar a troca, pois evita situações como escambo ou dificuldades para encontrar ponto de coincidência nessa troca.

O preço do dinheiro, assim como pode ser conservado ao longo do tempo, é expresso pelo custo de oportunidade. O dinheiro pode ser retido como um "depósito de valor" ou pode ser usado para comprar bens ou pagar por serviços; o custo de oportunidade está na decisão de poupar o dinheiro ou gastá-lo, trocá-lo. O tempo é um elemento importante; se o dono do dinheiro quiser mantê-lo por um período, digamos um mês, ele perde a oportunidade de comprar a televisão que queria ou sair de férias para qualquer lugar; Se você decidir gastá-lo, perde a oportunidade de receber uma quantia maior após o mês (se depositar como poupança) ou pagar por outros bens e serviços.

O custo do dinheiro é a taxa de juros, uma porcentagem que depende da abundância ou escassez, na facilidade de obtê-lo. O dinheiro escasso será caro, a taxa de juros será alta. O interesse é a parte proporcional que depende do valor do principal ou do capital, da taxa de juros e do tempo.

2. Interesse simples. Fórmulas

Juros I depende proporcionalmente de capital, taxa e tempo

I = C * i * t

Onde: C = Capital ou principal (em unidades monetárias)

 i = taxa de juros (porcentagem, sem unidades)

 t = tempo (anos ou qualquer outro período de tempo)

Existem duas possibilidades:

 1) A precisa de dinheiro, B fornece o valor desejado. A é devedor (pessoa ou empresa) e B é credor ou credor (Banco). Depois de um período A, você deve devolver o principal, principal ou dívida mais os juros equivalentes ao custo de oportunidade do banco). O montante devolvido é chamado Montante, Montante:

M = C + I = C + C * i * t = C (1 + i * t) = C (1 + it) = C * FCS (1)

Onde: (1 + it) = fator de capitalização simples

2) A decide salvar em um banco, no qual ele deixa seu dinheiro por um tempo te recebe como compensação por sua oportunidade de custo a taxa de i por unidade de tempo. O custo de oportunidade do poupador está na renúncia ao uso do dinheiro, enquanto o banco pode dispor dele livremente para suas próprias operações bancárias. No final, o poupador recebe o capital depositado mais juros. A fórmula (1) também é aplicável neste caso.

3. Exemplo

Juan economiza 20.000 euros no banco Trampitas por 4 anos, a uma taxa anual de 5% ao ano. Quanto você pode retirar no final do prazo?

I = C * i * t = 20.000 * 4 * 0,05 = euros * anos * 1 / ano = euros

I = 4.000

M = C + I = 20.000 + 4.000 = 24.000 euros

É importante verificar a coerência das unidades nos cálculos. A taxa de juros (i) não tem unidades, o juro (I) é expresso em unidades monetárias.

4. Programa em Python: