Juros compostos: cálculos e programas em Python

Juros compostos: cálculos e programas em Python

 (2) Notas do Curso de Matemática Financeira

      1. Princípios Básicos

No capítulo sobre Interesse Simples, explicamos o conceito de custo de oportunidade como justificativa para a existência de juros como compensação pelo uso de dinheiro recebido de terceiros (empréstimo ou dívida) ou por depósito de poupança (deixando o dinheiro em um banco por um prazo acordado). . Todas as considerações são as mesmas no caso de juros compostos; A diferença está na forma como os interesses são tratados ao longo do tempo.

Suponha que seja solicitado um empréstimo que deva ser pago dentro de quatro anos a uma taxa de juros anual. Interesse (I = C * i * n) do primeiro ano são calculados com o principal fórmula I 1 = C * i * 1 = C * i no final do primeiro ano são adicionados ao capital, ou débito, ou seja, é eles capitalizam e no final do ano a dívida torna-se

C 1 = C + I 1 = C + C * i = C (1 + i).

Para o próximo período, os juros serão mais altos porque são calculados sobre um capital maior. Ou seja, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. O novo capital no final do período 2 será

C2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

No final do Período 4, o prazo do empréstimo, o capital ou a quantia que deve ser paga é

M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Com os mesmos dados, o montante ou montante de juros compostos é maior do que o correspondente a juros simples.

  2. Juros compostos. Fórmulas

O juro I para cada período depende proporcionalmente do capital, da taxa e do tempo

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Onde: C = Capital ou principal (em unidades monetárias)

 i = taxa de juros (porcentagem, sem unidades)

 n = tempo (anos ou qualquer outro período de tempo)

Para o período 1, temos:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i      Juros pelo período 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)      Capital acumulado no período 1

Para o período 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i      Juros para o período 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Capital acumulado no período 2 (O sinal indica poder)

Para o período 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i     Juros pelo período 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i

     = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3

Capital acumulado no período 3

Para o período n, generalizando, temos:

In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i     Juros para o período n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

= C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

A quantia ou quantia que deve ser paga no período n com juros compostos é:

M = Cn = C (1 + i) ^ n          (1)

Como no interesse simples, existem duas possibilidades:

 1) A precisa de dinheiro, B fornece o valor desejado. A é devedor (pessoa ou empresa) e B é credor ou credor (Banco). Após um período A, você deve devolver o principal, principal ou dívida mais juros compostos equivalentes ao custo de oportunidade do banco. O montante devolvido é chamado Montante, Montante:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC    (2)

Onde: FCC = (1 + i) ^ n = Fator de capitalização composto

2) A decide salvar em um banco, no qual ele deixa seu dinheiro por um tempo te recebe como compensação por sua oportunidade de custo a taxa de i por unidade de tempo. O custo de oportunidade do poupador está na renúncia ao uso do dinheiro, enquanto o banco pode dispor dele livremente para suas próprias operações bancárias. No final, o poupador recebe o capital depositado mais juros. A fórmula (1) também é aplicável neste caso.

3. Fórmulas derivadas de juros compostos

Cálculo do capital

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Cálculo do tempo

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Cálculo da taxa de juros

(1 + i) ^ n = M / C

Aqui, Cn = M, se pegarmos a enésima raiz que temos

4. Exemplo

Juan economiza 20.000 euros no banco Trampitas por 4 anos, na taxa composta de 5% ao ano. Quanto você pode retirar no final do prazo?

Quantidade M = C * (1+ i) ^ n = 20.000 * (1 + 5%) ^ 4

= 20.000 * (1,05) ^ 4 = 24.310,12 euros

Juros = M-C = 24.310,12 - 20.000 = 4.310,12 euros

É importante verificar a coerência das unidades nos cálculos. A taxa de juros (i) não tem unidades, o juro (I) é expresso em unidades monetárias.

5. Programa em Python:

Links recomendados: Interesse simples

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/interesse-simples-calculos-e-programa.html