Juros compostos: cálculos e programas em Python
1. Princípios
Básicos
No capítulo sobre Interesse Simples, explicamos o conceito de
custo de oportunidade como justificativa para a existência de juros como
compensação pelo uso de dinheiro recebido de terceiros (empréstimo ou dívida)
ou por depósito de poupança (deixando o dinheiro em um banco por um prazo
acordado). . Todas as considerações são as mesmas no caso de juros compostos; A
diferença está na forma como os interesses são tratados ao longo do tempo.
Suponha que seja solicitado um empréstimo que deva ser pago
dentro de quatro anos a uma taxa de juros anual. Interesse (I = C * i * n) do
primeiro ano são calculados com o principal fórmula I 1 = C * i * 1 = C * i no
final do primeiro ano são adicionados ao capital, ou débito, ou seja, é eles
capitalizam e no final do ano a dívida torna-se
C 1 = C + I 1 = C + C * i = C (1 + i).
Para o próximo período, os juros serão mais altos porque são
calculados sobre um capital maior. Ou seja, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. O novo
capital no final do período 2 será
C2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) =
C (1 + i) ^ 2
No final do Período 4, o prazo do empréstimo, o capital ou a
quantia que deve ser paga é
M = C4 = C (1 + i) ^ 4
Com os mesmos dados, o montante ou montante de juros compostos
é maior do que o correspondente a juros simples.
2. Juros
compostos. Fórmulas
O juro I para cada período depende proporcionalmente do
capital, da taxa e do tempo
I = C * i * n = C * i * 1 = C * i
Onde: C =
Capital ou principal (em unidades monetárias)
i =
taxa de juros (porcentagem, sem unidades)
n =
tempo (anos ou qualquer outro período de tempo)
Para o
período 1, temos:
I1 = C *
i * n = C * i * 1 = C * i Juros pelo
período 1
C1 = C +
I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i) Capital
acumulado no período 1
Para o
período 2
I2
= C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i Juros para o período 2
C2 = C1 +
I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2
Capital
acumulado no período 2 (O sinal indica poder)
Para o
período 3
I3 = C2 *
i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i Juros pelo período 3
C3 = C2 +
I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i
= C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3
Capital
acumulado no período 3
Para o período n, generalizando, temos:
In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 +
i) ^ (n-1) * i Juros para o período
n-esimo
Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i
= C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n
A quantia ou quantia que deve ser paga no período n com juros
compostos é:
M = Cn = C (1 + i) ^ n
(1)
Como no interesse simples, existem duas possibilidades:
1) A precisa de dinheiro, B fornece o valor desejado. A
é devedor (pessoa ou empresa) e B é credor ou credor (Banco). Após um período
A, você deve devolver o principal, principal ou dívida mais juros compostos
equivalentes ao custo de oportunidade do banco. O montante devolvido é chamado
Montante, Montante:
M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC (2)
Onde: FCC = (1 + i) ^ n = Fator de capitalização composto
2) A decide salvar em um banco, no qual ele deixa seu dinheiro
por um tempo te recebe como compensação por sua oportunidade de custo a taxa de
i por unidade de tempo. O custo de oportunidade do poupador está na renúncia ao
uso do dinheiro, enquanto o banco pode dispor dele livremente para suas próprias
operações bancárias. No final, o poupador recebe o capital depositado mais
juros. A fórmula (1) também é aplicável neste caso.
3.
Fórmulas derivadas de juros compostos
Cálculo do capital
C = M /
FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)
Cálculo do tempo
M = C *
(1 + i) ^ n
Log M =
log C + n * log (1 + i)
Log M -
log C = n * log (1 + i)
n = (log
M - log C) / log (1 + i)
Cálculo da taxa de juros
(1 + i) ^
n = M / C
Aqui, Cn
= M, se pegarmos a enésima raiz que temos
4. Exemplo
Juan economiza 20.000 euros no banco Trampitas por 4 anos, na
taxa composta de 5% ao ano. Quanto você pode retirar no final do prazo?
Quantidade M = C * (1+ i) ^ n = 20.000 * (1 + 5%) ^ 4
= 20.000 * (1,05) ^ 4 = 24.310,12
euros
Juros = M-C = 24.310,12 - 20.000 = 4.310,12 euros
É importante verificar a coerência das unidades nos cálculos.
A taxa de juros (i) não tem unidades, o juro (I) é expresso em unidades
monetárias.
5.
Programa em Python:
Links recomendados: Interesse simples
