Juros compostos: cálculos e programas em Python

Juros compostos: cálculos e programas em Python

 (2) Notas do Curso de Matemática Financeira

      1. Princípios Básicos

No capítulo sobre Interesse Simples, explicamos o conceito de custo de oportunidade como justificativa para a existência de juros como compensação pelo uso de dinheiro recebido de terceiros (empréstimo ou dívida) ou por depósito de poupança (deixando o dinheiro em um banco por um prazo acordado). . Todas as considerações são as mesmas no caso de juros compostos; A diferença está na forma como os interesses são tratados ao longo do tempo.

Suponha que seja solicitado um empréstimo que deva ser pago dentro de quatro anos a uma taxa de juros anual. Interesse (I = C * i * n) do primeiro ano são calculados com o principal fórmula I 1 = C * i * 1 = C * i no final do primeiro ano são adicionados ao capital, ou débito, ou seja, é eles capitalizam e no final do ano a dívida torna-se

C 1 = C + I 1 = C + C * i = C (1 + i).

Para o próximo período, os juros serão mais altos porque são calculados sobre um capital maior. Ou seja, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. O novo capital no final do período 2 será

C2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

No final do Período 4, o prazo do empréstimo, o capital ou a quantia que deve ser paga é

M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Com os mesmos dados, o montante ou montante de juros compostos é maior do que o correspondente a juros simples.

  2. Juros compostos. Fórmulas

O juro I para cada período depende proporcionalmente do capital, da taxa e do tempo

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Onde: C = Capital ou principal (em unidades monetárias)

 i = taxa de juros (porcentagem, sem unidades)

 n = tempo (anos ou qualquer outro período de tempo)

Para o período 1, temos:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i      Juros pelo período 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)      Capital acumulado no período 1

Para o período 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i      Juros para o período 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Capital acumulado no período 2 (O sinal indica poder)

Para o período 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i     Juros pelo período 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i

     = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3

Capital acumulado no período 3

Para o período n, generalizando, temos:

In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i     Juros para o período n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

= C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

A quantia ou quantia que deve ser paga no período n com juros compostos é:

M = Cn = C (1 + i) ^ n          (1)

Como no interesse simples, existem duas possibilidades:

 1) A precisa de dinheiro, B fornece o valor desejado. A é devedor (pessoa ou empresa) e B é credor ou credor (Banco). Após um período A, você deve devolver o principal, principal ou dívida mais juros compostos equivalentes ao custo de oportunidade do banco. O montante devolvido é chamado Montante, Montante:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC    (2)

Onde: FCC = (1 + i) ^ n = Fator de capitalização composto

2) A decide salvar em um banco, no qual ele deixa seu dinheiro por um tempo te recebe como compensação por sua oportunidade de custo a taxa de i por unidade de tempo. O custo de oportunidade do poupador está na renúncia ao uso do dinheiro, enquanto o banco pode dispor dele livremente para suas próprias operações bancárias. No final, o poupador recebe o capital depositado mais juros. A fórmula (1) também é aplicável neste caso.

3. Fórmulas derivadas de juros compostos

Cálculo do capital

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Cálculo do tempo

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Cálculo da taxa de juros

(1 + i) ^ n = M / C

Aqui, Cn = M, se pegarmos a enésima raiz que temos

4. Exemplo

Juan economiza 20.000 euros no banco Trampitas por 4 anos, na taxa composta de 5% ao ano. Quanto você pode retirar no final do prazo?

Quantidade M = C * (1+ i) ^ n = 20.000 * (1 + 5%) ^ 4

= 20.000 * (1,05) ^ 4 = 24.310,12 euros

Juros = M-C = 24.310,12 - 20.000 = 4.310,12 euros

É importante verificar a coerência das unidades nos cálculos. A taxa de juros (i) não tem unidades, o juro (I) é expresso em unidades monetárias.

5. Programa em Python:

Links recomendados: Interesse simples

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/interesse-simples-calculos-e-programa.html

Interesse composto: calcoli e programma in Python

Interesse composto: calcoli e programma in Python

(2) Note del corso di matematica finanziaria

1. Principi di base

Nel capitolo sull'interesse semplice, spieghiamo il concetto di costo opportunità come giustificazione per l'esistenza di interessi come compensazione per l'utilizzo di denaro ricevuto da terzi (prestito o debito) o per il deposito di risparmi (lasciando il denaro in una banca per un periodo concordato) . Tutte le considerazioni sono le stesse nel caso di interesse composto; La differenza sta nel modo in cui gli interessi vengono trattati nel tempo.

Supponiamo che venga richiesto un prestito che deve essere rimborsato entro quattro anni ad un tasso di interesse annuale. L'interesse (I = C * i * n) del primo anno è calcolato con la formula I 1 = C * i * 1 = C * iy alla fine del primo anno vengono aggiunti al capitale, o capitale del debito, vale a dire, essi capitalizzano e alla fine dell'anno il debito diventa

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

Per il prossimo periodo, l'interesse sarà più alto perché è calcolato su un capitale più grande. Cioè, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. La nuova capitale alla fine del periodo 2 sarà

C 2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Alla fine del Periodo 4, la durata del prestito, il capitale o l'importo che deve essere rimborsato è M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Con gli stessi dati, la quantità o la quantità di interesse composto è maggiore di quella corrispondente all'interesse semplice.

2. Interesse composto. Formule

L'interesse I per ciascun periodo dipende proporzionalmente dal capitale, dal tasso e dal tempo

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Dove: C = Capitale o capitale (in unità monetarie)

 i = tasso di interesse (percentuale, senza unità)

 n = tempo (anni o qualsiasi altro periodo di tempo)

Per il periodo 1 abbiamo:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i         Interessi per il periodo 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)     Capitale accumulato nel periodo 1

Per il periodo 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i    Interesse per il periodo 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Capitale accumulato nel periodo 2 (il segno ^ indica il potere)

Per il periodo 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i    Interessi per periodo 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i

    = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3

Capitale accumulato nel periodo 3

Per il periodo n, generalizzando abbiamo:

In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i Interesse per il periodo ennesimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

      = C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

L'importo o l'importo che deve essere pagato nel periodo n con l'interesse composto è:

M = Cn = C (1 + i) ^ n        (1)

Come nel semplice interesse, ci sono due possibilità:

 1) A ha bisogno di soldi, B fornisce l'importo desiderato. A è un debitore (persona o società) e B è un creditore o prestatore (Banca). Dopo un periodo A, è necessario restituire il capitale, il capitale o il debito più gli interessi composti equivalenti al costo opportunità della banca. L'importo restituito è chiamato importo, importo:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC     (2)

Dove: FCC = (1 + i) ^ n = fattore di capitalizzazione composto

2) A decide di salvare in una banca, in cui lascia i suoi soldi per un tempo t e riceve come compenso per la sua opportunità il costo di i per unità di tempo. Il costo opportunità del risparmiatore è nella rinuncia all'uso del denaro, mentre la banca può liberamente disponere per le proprie operazioni bancarie. Alla fine, il risparmiatore riceve il capitale depositato più gli interessi. La formula (1) è applicabile anche in questo caso.

3. Formule derivate dall'interesse composto

Calcolo del capitale

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Calcolo del tempo

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Calcolo del tasso di interesse

(1 + i) ^ n = M / C

Qui, Cn = M, se prendiamo l'ennesima radice che abbiamo

4. Esempio

Juan risparmia 20.000 euro nella banca Trampitas per 4 anni, al tasso composto del 5% all'anno. Quanto puoi ritirare alla fine del trimestre?

Quantità M = C * (1+ i) ^ n = 20.000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20.000 * (1.05) ^ 4 =  24,310,12 euro

Interesse = M-C = 24,310,12 - 20.000 = 4,310,12 euro

È importante verificare la coerenza delle unità nei calcoli. Il tasso di interesse (i) non ha unità, l'interesse (I) è espresso in unità monetarie.

5. Programma in Python:

Link consigliati: interesse semplice

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/interesse-semplice-calcoli-e-programma.html

Compound Interest: Calculations and Program in Python

Compound Interest: Calculations and Program in Python

 (2) Notes of the Financial Mathematics Course

1. Basic principles

In the chapter on Simple Interest, we explain the concept of opportunity cost as justification for the existence of interest as compensation for using money received by third parties (loan or debt) or for depositing savings (leaving the money in a bank for an agreed term) . All considerations are the same in the case of compound interest; The difference is in the way interests are treated over time.

Suppose a loan is requested that must be repaid within four years at an annual interest rate. The interest (I = C * i * n) of the first year is calculated with the formula 

  I 1 = C * i * 1 = C * iy at the end of the first year they are added to the capital, or principal of the debt, that is to say, they capitalize and at the end of the year the debt becomes

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

For the next period, the interest will be higher because it is calculated on a larger capital. That is, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. The new capital at the end of period 2 will be

C 2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

At the end of Period 4, the term of the loan, the capital or amount that must be repaid is M = C4 = C (1 + i) ^ 4

With the same data, the amount or amount of compound interest is greater than that corresponding to simple interest.

2. Compound interest. Formulas

Interest I for each period depends proportionally on capital, rate and time

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Where: C = Capital or principal (in monetary units)

 i = interest rate (percentage, without units)

 n = time (years or any other period of time)

For period 1 we have:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i        Interest for period 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)    Capital accumulated in period 1

For period 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i        Interest for period 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Capital accumulated in period 2 (The sign ^ indicates power)

For period 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i     Interest for period 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i

    = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i) = C (1 + i) ^ 3

Capital accumulated in period 3

For period n, generalizing we have:

In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i Interest for the period n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

     = C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

The amount or amount that must be paid in period n with compound interest is:

M = Cn = C (1 + i) ^ n           (1)

As in the simple interest, there are two possibilities:

 1) A needs money, B provides the desired amount. A is a debtor (person or company) and B is a creditor or lender (Bank). After a period A, you must return the principal, principal or debt plus compound interest equivalent to the opportunity cost of the bank. The amount returned is called Amount, Amount:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC (1)

Where: FCC = (1 + i) ^ n = Compound capitalization factor

2) A decides to save in a bank, in which he leaves his money for a time t and receives as compensation for his opportunity cost the rate of i per unit of time. The opportunity cost of the saver is in the renunciation of the use of the money while the bank can freely dispose of it for its own banking operations. In the end, the saver receives the deposited capital plus interest. Formula (1) is also applicable in this case.

3. Formulas derived from Compound Interest

Calculation of capital

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Calculation of time

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Calculation of the interest rate

(1 + i) ^ n = M / C

Here, Cn = M, if we take the nth root we have

4. Example

Juan saves 20,000 euros in the Trampitas bank for 4 years, at the compound rate of 5% per year. How much can you withdraw at the end of the term?

Amount M = C * (1+ i) ^ n = 20,000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20,000 * (1.05) ^ 4 =  24,310.12 euros

Interest = M-C = 24,310.12 - 20,000 = 4,310.12 euros

It is important to check the coherence of units in the calculations. The interest rate (i) has no units, Interest (I) is expressed in monetary units.

5. Program in Python:

Recommended links: Simple interest

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/simple-interest-calculations-and.html

Intérêt composé: Calculs et programme en Python

Intérêt composé: Calculs et programme en Python

 (2) Notes du cours de mathématiques financières

  

     Principes de base

Dans le chapitre sur les intérêts simples, nous expliquons le concept de coût d’opportunité pour justifier l’existence d’intérêts en compensation de l’utilisation d’argent reçu de tiers (prêt ou dette) ou du dépôt d’une épargne (laisser l’argent dans une banque pendant une période convenue) . Toutes les considérations sont les mêmes dans le cas des intérêts composés; La différence réside dans la manière dont les intérêts sont traités au fil du temps.

Supposons qu'un prêt soit demandé et qu'il doive être remboursé dans les quatre ans à un taux d'intérêt annuel. L'intérêt (I = C * i * n) de la première année est calculé avec la formule  I1 = C * i * 1 = C * iy à la fin de la première année, ils sont ajoutés au capital ou au principal de la dette, c'est-à-dire ils capitalisent et à la fin de l'année la dette devient

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

Pour la prochaine période, les intérêts seront plus élevés car ils sont calculés sur un capital plus important. C'est-à-dire que I2 = C1 * i * 1 = C1 * i.  La nouvelle capitale à la fin de la période 2 sera

C2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

À la fin de la période 4, la durée du prêt, le capital ou le montant à rembourser est M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Avec les mêmes données, le montant ou le montant des intérêts composés est supérieur à celui correspondant aux intérêts simples.

2. Intérêt composé. Formules

L'intérêt I pour chaque période dépend proportionnellement du capital, du taux et du temps

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Où: C = Capital ou principal (en unités monétaires)

 i = taux d'intérêt (pourcentage, sans unités)

 n = temps (années ou toute autre période)

Pour la période 1 nous avons:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i      Intérêts pour la période 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)   Capital accumulé au cours de la période 1

Pour la période 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i   Intérêts pour la période 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Capital accumulé en période 2 (Le signe ^ indique le pouvoir)

Pour la période 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i      Intérêts pour la période 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (1 + i) ^ 2 * i = C (1 + i) ^ 2 * (1 + i)

     = C (1 + i) ^ 3

Capital accumulé en période 3

Pour la période n, en généralisant nous avons:

Dans  C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i       Intérêts pour la période n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

      = C (1 + i) ^ (n-1) ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

Le montant ou le montant à payer au cours de la période n avec intérêts composés est:

M = Cn = C (1 + i) ^ n        (1)

Comme dans l’intérêt simple, il y a deux possibilités:

 1) A a besoin d’argent, B fournit le montant souhaité. A est un débiteur (personne physique ou morale) et B est un créancier ou un prêteur (banque). Après une période A, vous devez rembourser le principal, le principal ou la dette plus les intérêts composés équivalents au coût d'opportunité de la banque. Le montant retourné s'appelle Montant, Montant:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC     (2)

Où: FCC = (1 + i) ^ n = facteur de capitalisation composé

2) A décide d'épargner dans une banque dans laquelle il laisse son argent pendant un temps t et reçoit, en compensation de son opportunité, le coût de i par unité de temps. Le coût d'opportunité de l'épargnant réside dans la renonciation à utiliser l'argent alors que la banque peut en disposer librement pour ses propres opérations bancaires. Au final, l’épargnant reçoit le capital déposé plus les intérêts. La formule (1) est également applicable dans ce cas.

3. Formules dérivées de l'intérêt composé

Calcul du capital

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Calcul du temps

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Calcul du taux d'intérêt

(1 + i) ^ n = M / C

Ici, Cn = M, si nous prenons la nième racine, nous avons

4. Exemple

Juan économise 20 000 euros à la banque Trampitas pour 4 ans, au taux composé de 5% par an. Combien pouvez-vous retirer à la fin du terme?

Montant M = C * (1+ i) ^ n = 20 000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20 000 * (1,05) ^ 4 =  24 310,12 euros

Intérêts = M-C = 24 310,12 - 20 000 = 4 310,12 euros

Il est important de vérifier la cohérence des unités dans les calculs. Le taux d'intérêt (i) n'a pas d'unités, les intérêts (I) sont exprimés en unités monétaires.

5. Programme en Python:

Liens recommandés: Intérêt simple

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/interet-simple-calculs-et-programme-en.html

Zinseszins: Berechnungen und Programm in Python

Zinseszins: Berechnungen und Programm in Python

 (2) Anmerkungen zum Kurs Finanzmathematik

1 1. Grundprinzipien

Im Kapitel über die einfache Interesse erklärt das Konzept der Opportunitätskosten als Rechtfertigung für die Existenz von Zinsen als Entschädigung für die Verwendung von Geld erhielt Drittel (Darlehen oder Schulden) oder Hinterlegung Spar (Abfahrt Geld in einer Bank für einen vereinbarten Zeitraum) . Bei Zinseszins sind alle Überlegungen gleich; Der Unterschied liegt in der Art und Weise, wie Interessen im Laufe der Zeit behandelt werden.

Angenommen, es wird ein Darlehen beantragt, das innerhalb von vier Jahren zu einem jährlichen Zinssatz zurückgezahlt werden muss. Die Zinsen (I = C * i * n) des ersten Jahres werden mit der Formel  I1 = C * i * 1 = C * i  am Ende des ersten Jahres berechnet, in dem sie dem Kapital oder Kapital der Schuld hinzugefügt werden, dh Sie aktivieren und am Ende des Jahres wird die Verschuldung zu

C 1 = C + I1 = C + C * i = C (1 + i).

Für den nächsten Zeitraum wird der Zins höher sein, da er auf einem größeren Kapital berechnet wird. Das heißt, I2 = C1 * i * 1 = C1 * i. Das neue Kapital, am Ende 

der Periode 2

C 2 = C1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) * i = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i) ^ 2

Am Ende von Periode 4 ist die Laufzeit des Darlehens, das Kapital oder der zurückzuzahlende Betrag M = C4 = C (1 + i) ^ 4

Mit den gleichen Daten ist der Betrag oder der Betrag des Zinseszinses größer als der, der dem einfachen Zins entspricht.

2. Zinseszins. Formeln

Zins I für jede Periode hängt proportional von Kapital, Zinssatz und Zeit ab

I = C * i * n = C * i * 1 = C * i

Wobei: C = Kapital oder Kapitalbetrag (in Währungseinheiten)

 i = Zinssatz (Prozentsatz, ohne Einheiten)

 n = Zeit (Jahre oder irgendein anderer Zeitraum)

Für Periode 1 haben wir:

I1 = C * i * n = C * i * 1 = C * i    Zins für Periode 1

C1 = C + I1 = C + C (1 + i) = C (1 + i)   In Periode 1 angesammeltes Kapital

Für Periode 2

 I2 = C1 * i * n = C1 * i * 1 = C1 * i = C (1 + i) * i     Zins für Periode 2

C2 = C1 + I2 = C1 (1 + i) + C1 (1 + i) * i = C1 (1 + i) (* (1 + i) = C (i + 1) ^ 2

In Periode 2 angesammeltes Kapital (Das Zeichen ^ gibt die Macht an)

Für Periode 3

I3 = C2 * i * n = C2 * i * 1 = C2 * i = C (1 + i) ^ 2 * i     Zins für Periode 3

C3 = C2 + I3 = C (1 + i) ^ 2 + C (i + 1) ^ 2 * i = C (i + 1) ^ 2 * (1 + i)

      = C (1 + i) ^ 3

In Periode 3 angesammeltes Kapital

Für Periode n haben wir verallgemeinernd:

In = C (n-1) * i * n = C (n-1) * i * 1 = C (n-1) * i = C (1 + i) ^ (n-1) * i 

Zinsperiode n-esimo

Cn = C (n-1) + In = C (1 + i) ^ (n-1) + C (1 + i) ^ (n-1) * i

      =  C (1 + i) ^ (n-1 ) * (1 + i) = C (1 + i) ^ n

Der Betrag oder Betrag, der in Periode n mit Zinseszinsen gezahlt werden muss, ist:

M = Cn = C (1 + i) ^ n        (1)

Wie im einfachen Interesse gibt es zwei Möglichkeiten:

 1) A braucht Geld, B stellt den gewünschten Betrag zur Verfügung. A ist ein Schuldner (Person oder Unternehmen) und B ist ein Gläubiger oder Kreditgeber (Bank). Nach einer Periode A müssen Sie das Kapital, das Kapital oder die Schuld zuzüglich Zinseszinsen zurückzahlen, die den Opportunitätskosten der Bank entsprechen. Der zurückgegebene Betrag heißt Betrag, Betrag:

M = C + I = C * (1 + i) ^ n = C * FCC     (2)

Wobei: FCC = (1 + i) ^ n = Kapitalisierungsfaktor

2) A beschließt, bei einer Bank zu sparen, bei der er sein Geld für eine Zeit t liegen lässt und als Ausgleich für seine Opportunitätskosten den Satz von i pro Zeiteinheit erhält. Die Opportunitätskosten des Sparers bestehen im Verzicht auf die Verwendung des Geldes, während die Bank über dieses Geld für ihre eigenen Bankgeschäfte frei verfügen kann. Am Ende erhält der Sparer das eingezahlte Kapital zuzüglich Zinsen. Formel (1) ist auch in diesem Fall anwendbar.

3. Aus Zinseszinsen abgeleitete Formeln

Berechnung des Kapitals

C = M / FCC = M / (1 + i) ^ n = M * (1 + i) ^ (- n)

Berechnung der Zeit

M = C * (1 + i) ^ n

Log M = log C + n * log (1 + i)

Log M - log C = n * log (1 + i)

n = (log M - log C) / log (1 + i)

Berechnung des Zinssatzes

(1 + i) ^ n = M / C

Hier ist Cn = M, wenn wir die n-te Wurzel nehmen, die wir haben

  

 4. Beispiel

Juan spart 4 Jahre lang 20.000 Euro in der Trampitas-Bank, bei einem Zinssatz von 5% pro Jahr. Wie viel können Sie am Ende der Laufzeit abheben?

Menge M = C * (1+ i) ^ n = 20.000 * (1 + 5%) ^ 4 = 20.000 * (1,05) ^ 4

= 24.310,12 Euro

Zinsen = M-C = 24.310,12 - 20.000 = 4.310,12 Euro

Es ist wichtig, die Kohärenz der Einheiten in den Berechnungen zu überprüfen. Der Zinssatz (i) hat keine Einheiten, Zinsen (I) werden in Geldeinheiten ausgedrückt.

5. Programme in Python:

Empfohlene Links: Einfaches Interesse

https://financial-math-easy.blogspot.com/2019/07/einfaches-interesse-berechnungen-und.html